Pembuktian tak langsung

Ada yang disebut sebagai pembuktian tak langsung. Dalam pembuktian tak langsung alih-alih langsung membuktikan sesuatu benar kita akan membuktikan bahwa semua kemungkinan lainnya adalah salah.

Pembuktian tak langsung

Pembuktian yang dilakukan dengan membuktikan salah (disprove) negasi sebuah pernyataan, sehingga pernyataan tersebut justru terbukti benar (proven).

Biasanya pembuktian tak langsung disebut pembuktian dengan kontradiksi (reductio ad absurdum). Ini bukan satu-satunya pembuktian tak langsung. Ada lagi yang disebut sebagai pembuktian dengan kontraposisi, tetapi untuk sementara kita hanya akan membicarakan pembuktian dengan kontradiksi.

Pembuktian tak langsung dilakukan dengan cara membuat asumsi sementara mengenai kebalikan dari teorema yang akan dibuktikan. Asumsi ini disebut sebagai hipotesis.

Hipotesis

Pernyataan yang untuk sementara kita asumsikan benar untuk keperluan pembuktian.

Apakah Amburegul mengungu Titanigo? Kita belum tahu jawabannya, tapi mari kita anggap ini benar. Kita sebut ini sebagai H_0 (hipotesis nol).

Cara kerja pembuktian ini adalah dengan mencoba menarik kesimpulan-kesimpulan dalam sistem ini yang menjadi akibat H_0 (yang belum tentu benar), dan ketika muncul kesimpulan yang berkontradiksi dengan sistemnya, maka kita dapat menolak kebenaran H_0.

Biasanya kita memasangkan hipotesis nol dengan hipotesis lawannya, yang disebut sebagai hipotesis alternatif. Ini tidak selalu perlu, tetapi bisa membantu dalam menuliskan kesimpulan akhir.

Kalau dalam pembuktian langsung kita berangkat dari aksioma (A) atau teorema (T), dalam pembuktian tak langsung kita berangkat dari hipotesis kita (H0). Andaikan H0 benar, apa yang akan terjadi?

Pertama, kita perlu melakukan IU pada R3.

Berikutnya, kita memiliki T6 dan H0.

Catatan: Dalam diagram, asumsi-asumsi tambahan yang belum tentu benar ini kita gambarkan dengan cara lain. Misalnya dengan warna lain atau garis yang tidak utuh.

T6 dan H0 perlu digabungkan dulu menggunakan IK. Kita namakan kesimpulannya sebagai L**.

Selanjutnya, L** dapat digabungkan dengan L* menggunakan MP.

Silakan periksa sendiri validitas penarikan kesimpulan ini.

Dari proses ini didapat kesimpulan akhir bahwa ng(Bahrelway, Titanigo). Berarti, asumsi kita bahwa Amburegul mengungu Titanigo akan mengakibatkan Bahrelway harus mengungu Titanigo.

mengakibatkan

Namun tunggu dulu. Bukankah aksioma 3 menyebutkan bahwa Bahrelway tidak mengungu Titanigo?

Berarti, L*** berkontradiksi dengan A3 dalam satu sistem. Dalam satu sistem ada dua pernyataan yang kontradiksi. Ini tidak boleh terjadi!

Dari mana kontradiksi ini berawal? Kontradiksi ini berawal dari H0, yaitu saat kita mengasumsikan bahwa Amburegul mengungu Titanigo.

Agar sistem kita terselamatkan, maka kita harus menolak H0. Kalau H0 ditolak, berarti yang yang kita terima sebagai benar adalah negasinya, yaitu HA.

Karena sekarang kebenaran HA sudah diketahui, berarti ini bisa disebut sebagai teorema.

Amburegul tidak mengungu Titanigo. Ya! Akhirnya kita memperoleh kesimpulan bahwa Amburegul tidak mengungu Titanigo. Kita mendapatkan satu teorema lagi!

Inilah yang disebut pembuktian tak langsung atau nama lainnya adalah pembuktian dengan kontradiksi. Perbedaan antara pembuktian langsung dengan tak langsung dapat dilihat pada tabel di bawah ini.

Berikutnya: Contoh lain