Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Mari kita kembali lagi pada sistem persamaan yang dibicarakan dalam bagian sebelumnya.

\left\{ \begin{matrix} 3x + 4y = 10 \\ 5x + 2y = 26 \\ \end{matrix} \right.

Bagaimanakah kamu akan mencari penyelesaian dari sistem persamaan tersebut? Biasanya di tingkat SMP, kamu pernah mempelajari algoritma yang disebut sebagai eliminasi.

Pertama, kalikan baris pertama dengan 5, dan baris kedua dengan 3. Tujuannya agar kedua persamaan memiliki koefisien x yang sama, sehingga ketika kedua persamaan dikurangkan, suku yang mengandung x dapat dihilangkan.

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c:c:c} 3x + 4y = 10 &\times 5 &15x + 20y = 50\\ 5x + 2y = 26 &\times 3 &15x + 6y = 78\\ \end{array}

Berikutnya kita kurangkan baris yang bawah dengan yang atas. Biasanya kamu akan menuliskan dalam bentuk:

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c} 15x &+& 20y &=& 50\\ 15x &+& 6y &=& 78 &-\\ \hline &&14y&=&-28 \end{array}

Jadi kita sekarang telah berhasil menghilangkan variabel x. Inilah mengapa hal ini disebut sebagai eliminasi: Karena kita berusaha mengeliminir variabel tertentu.

Ilustrasi: Eliminasi Idol — Sepertinya x harus mencoba lagi dalam lain kesempatan.

Namun alih-alih hanya menuliskan bentuk tersebut, kita akan menuliskan hasil pengurangannya untuk menggantikan persamaan bagian bawah (15x+6y=78 diganti dengan 14y=-28).

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c} 15x &+& 20y &=& 50\\ &&14y &=& -28\\ \end{array}

Kemudian kita sederhanakan kembali dengan cara membagi 5 baris pertama (kali \frac{1}{5}), dan membagi 14 baris kedua (kali \frac{1}{14}).

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{ccccc:c:ccccc} 15x &+& 20y &=& 50 &\times \frac{1}{5} &3x &+& 4y &=& 10\\ && 14y &=& -28 &\times \frac{1}{14} &&&y&=&-2\\ \end{array}

Sampai di sini, kamu sudah mendapatkan nilai y, dan kamu bisa mensubstitusi niali y ke baris pertama untuk mendapatkan nilai x.

Eliminasi Gauss

Algoritma eliminasi seperti ini biasanya di tingkat SMP disebut sebagai eliminasi-substitusi. Namun kalau kamu secara spesifik menghilangkan variabel pertama dari baris bawah, algoritma ini disebut sebagai eliminasi Gauss.

\begin{array}{ccccc} 3x &+& 4y &=& 10\\ 5x &+& 2y &=& 26 \\ \end{array}

→

\begin{array}{ccccc} 3x &+& 4y &=& 10\\ \hilitec{\,\,\,}&& 4y &=& -8 \\ \end{array}

Alih-alih substitusi, kita juga bisa melakukan eliminasi untuk kedua kalinya. Karena variabel x sudah dieliminasi dari baris kedua, maka kita juga berusaha mengeliminasi y dari baris pertama. Algoritma ini disebut sebagai eliminasi Gauss-Jordan.

Eliminasi Gauss-Jordan

Caranya kita kalikan kembali baris kedua dengan 4, agar kolom dengan variabel y-nya memiliki koefisien yang sama.

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{ccccc} 3x &+& 4y &=& 10\\ && 4y &=& -8 \\ \end{array}

Dengan mengurangkan baris atas dengan bawah, kita akan memperoleh:

\begin{aligned} 3x && &= 18 \\ && 4y &= - 8 \end{aligned}

Sekarang tinggal kita bagi baris atas dengan 3, dan baris bawah dengan 4.

\begin{aligned} x &= 6 \\ y &= -2 \end{aligned}

Jadi deh! Kita mendapatkan bahwa nilai x adalah 6, dan y adalah -2.

Pernahkah kamu melihat proses ini sebelumnya dalam bab ini? Ini tidak lain adalah teka-teki kotak bilangan yang ada di depan. Jadi teka-teki tersebut sebenarnya adalah algoritma dalam SPL yang disebut sebagai eliminasi Gauss-Jordan. Masing-masing operasi yang dilakukan disebut sebagai operasi baris elementer.

Operasi Baris Elementer (OBE)

Dalam teka-teki bilangan di awal bab kita tidak membicarakan SPL melainkan matriks. Namun dalam bagian sebelum ini kita juga telah melihat bahwa SPL dapat diubah menjadi tabel bilangan atau matriks.

Jadi sistem persamaan awal bisa dituliskan ulang dalam bentuk matriks berisi koefisien dan konstanta seperti di bawah ini.

\left\{ \begin{matrix} 3x + 4y = 10 \\ 5x + 2y = 26 \\ \end{matrix} \right.

→

3	4	10
5	2	26

Nah, sekarang kita akan melakukan yang disebut sebagai operasi baris elementer (OBE). Dalam OBE, kamu hanya boleh melakukan dua hal:

Mengalikan sebuah baris dengan sebuah bilangan bukan nol.
Menjumlahkan atau mengurangkan baris dengan baris lainnya.

Karena hanya dua operasi di atas yang boleh dilakukan, berarti kamu tidak boleh mengalikan satu baris dengan baris lain, dan tidak boleh menjumlahkan sebuah baris dengan sebuah bilangan.

Walaupun dua operasi yang diizinkan ini sangat terbatas, tetapi ini adalah operasi paling mendasar.

Menjumlahkan baris kedua dengan 10 kali baris pertama, misalnya, dapat diuraikan sebagai mengalikan baris pertama dengan 10, lalu baris kedua dijumlahkan dengan baris pertama.

Bagaimana dengan pembagian? Pembagian adalah sama dengan mengalikan dengan kebalikan bilangan. Jadi membagi sebuah baris dengan 5 sama dengan mengalikan baris tersebut dengan \frac{1}{5}. Yang penting, karena ini perkalian, kamu harus mengalikan setiap bilangan pada baris yang sama, tidak boleh hanya sebagian saja.

Jadi, hal-hal yang lebih kompleks dapat dilakukan dengan mengkombinasikan dua operasi dasar ini.

Mari kita terapkan operasi baris elementer pada matriks kita. Langkah pertama kita mengalikan baris pertama dengan 5 dan baris kedua dengan 3. Setiap kali kita melakukan operasi baris,

3	4	10	×5
5	2	26	×3

→

15	20	50
15	6	78

Lalu kita mengurangkan baris kedua dengan baris pertama, sehingga baris kedua menjadi 0, 14, -28.

15	20	50
15	6	78	-b1

→

15	20	50
0	14	-28

Setelah itu, kita sederhanakan kedua barisnya dengan mengalikan bilangan bilangan yang sesuai.

15	20	50	\times\frac{1}{5}
0	14	-28	\times\frac{1}{14}

→

3	4	10
0	1	-2

Dengan mengalikan baris atas dengan \frac{1}{5} dan bawah dengan \frac{1}{14}, kita akan mendapatkan kembali matriks yang sederhana. Kalau kamu tidak suka pecahan, kamu dapat menuliskannya sebagai pembagian karena ini adalah operasi yang sama.

15	20	50	:5
0	14	-28	:14

→

3	4	10
0	1	-2

Sekarang kita akan menghilangkan bilangan di baris pertama kolom 2. Untuk menghilangkannya, kita perlu mengurangkannya dengan baris kedua. Karena baris kedua nilainya 1 sementara baris pertama 4, kita perlu menyamakannya terlebih dahulu. Jadi kita kalikan baris 2 dengan 4.

3	4	10
0	1	-2	×4

→

3	4	10
0	4	-8

Seperti yang telah dibahas sebelumnya, operasi ini adalah operasi dasar, jadi kalau kamu sudah mulai paham, kamu dapat mengalikan baris kedua sebelumnya dengan 2/7 alih-alih 1/14, agar hasilnya langsung muncul 4.

Setelah kolom 2 sama, kita kurangkan baris pertama dengan baris kedua.

3	4	10	-b2
0	4	-8

→

3	0	18
0	4	-8

Sampai di sini, kolom 2 baris pertama sudah 0. Untuk mendapatkan identitas di sebelah kiri, kita akan mengalikan dengan bilangan yang sesuai agar 3 menjadi 1 dan 4 menjadi 1.

3	0	18	\times\frac{1}{3}
0	4	-8	\times\frac{1}{4}

→

1	0	6	x
0	1	-2	y

Nilai pada kolom kanan adalah nilai variabel x dan y yang kita cari dalam SPL. Jadi ternyata teka-teki bilangan yang kamu kerjakan di awal bab ini adalah algoritma eliminasi Gauss-Jordan untuk mencari penyelesaian sebuah sistem persamaan linear.

Perbandingan eliminasi SPL dengan matriks

Nah, di bawah ini kamu dapat melihat perbandingan proses eliminasinya langkah demi langkah. Dapat kamu lihat bahwa setiap langkah yang kamu lakukan dalam SPL memiliki operasi yang setara dalam matriks.

SPL

Matriks

\begin{array}{ccccc:c} 3x &+& 4y &=& 10 &\times 5 \\ 5x &+& 2y &=& 26 &\times 3\\ \end{array}

3	4	10	×5
5	2	26	×3

\begin{array}{ccccc:c} 3x &+& 4y &=& 10 &\times 5 \\ 5x &+& 2y &=& 26 &\times 3\\ \end{array}

3	4	10	×5
5	2	26	×3

\begin{array}{ccccc} 15x &+& 20y &=& 50 & \\ 15x &+& 6y &=& 78 &-\\ \hline && 14y &=& -28 \end{array}

15	20	50
15	6	78	-b1

\begin{array}{ccccc:c} 15x &+& 20y &=& 50 &\times \frac{1}{5} \\ && 14y &=& -28 &\times-\frac{1}{14}\\ \end{array}

15	20	50	\times\frac{1}{5}
0	-14	28	\times-\frac{1}{14}

\begin{array}{ccccc:c} 3x &+& 4y &=& 10 & \\ && y &=& -2 &\times 4\\ \end{array}

3	4	10
0	1	-2	×4

\begin{array}{ccccc:c} 3x &+& 4y &=& 10 & \\ && 4y &=& -8 & -\\ \hline 3x && &=& 18 \end{array}

3	4	10	-b2
0	4	-8

\begin{array}{ccccc:c} 3x && &=& 18 & \times\frac{1}{3}\\ && 4y &=& -8 & \times\frac{1}{4}\\ \end{array}

3	0	18	\times\frac{1}{3}
0	4	-8	\times\frac{1}{4}

\begin{array}{ccc} x &=& 6 \\ y &=& -2 \\ \end{array}

1	0	6	x
0	1	-2	y

Jadi pada dasarnya eliminasi menggunakan OBE ini adalah cara yang lebih praktis untuk mengerjakan SPL, tanpa harus terdistraksi dengan kehadiran variabel.

Mengenal kebenaran > kenikmatan sesaat

Yang mana cara yang lebih enak dikerjakan adalah soal selera. Kamu bisa saja menyukai algoritma SPL dan memandang hina seseorang yang menggunakan matriks.

Namun tujuan kita belajar bukan sekadar mencari yang lebih enak atau yang praktis saja, melainkan kita ingin mengenal lebih dalam, mengenal hal yang lebih esensial dari cara-cara tersebut.

Dengan melihat padanan ini kamu mengenal yang disebut sebagai abstraksi. Penghilangan variabel mengabstraksikan proses yang lebih dalam. Ini seperti memeras jeruk untuk mendapatkan sari-sarinya.

Selain itu, kamu juga melihat hal yang disebut sebagai isomorfisme. Bahwa dua struktur yang berbeda bisa memiliki cara kerja yang sama. Ini menunjukkan bahwa dua struktur berbeda tersebut secara esensi adalah sama.

Isomorfisme

Dalam matematika sering ditemukan dua macam struktur aturan yang berbeda tetapi bisa dipertukarkan satu sama lain. Keadaan seperti ini memiliki suatu istilah, yaitu isomorfisme. Dua struktur yang dapat saling dipertukarkan disebut sebagai isomorfis satu sama lain.

Latihan

Tuliskan koefisien-koefisien dan konstanta sistem-sistem persamaan berikut menjadi dalam bentuk matriks, lalu tentukan penyelesaiannya dengan OBE.

\left\{ \begin{matrix} x - 3y = - 25 \\ 2x + 5y = 27 \\ \end{matrix} \right.\
\left\{ \begin{matrix} 5x + 4y = 6 \\ 3x - 7y = 13 \\ \end{matrix} \right.\
\left\{ \begin{matrix} 2x + y = 8 \\ 3y - 4x = - 6 \\ \end{matrix} \right.\
\left\{ \begin{matrix} y - x = - 5 \\ 4y = 32 \\ \end{matrix} \right.\

Berikutnya: Untuk SPL dengan variabel lebih banyak

Untuk SPL dengan variabel lebih banyak