Untuk SPL dengan variabel lebih banyak

Bagaimana dengan SPL dengan jumlah variabel yang lebih banyak? Kita akan mencoba mengerjakan SPL dengan 3 variabel. Sebagai contoh, diberikan SPL seperti ini:

Pertama-tama kamu perlu memastikan setiap persamaan ditulis dengan format ax+by+cz = d, yaitu semua suku bervariabel di ruas kiri, dan konstanta di ruas kanan. Pastikan juga urutan penulisannya sama semua. Misalnya x dulu, kemudian y, dan terakhir baru z.

Lalu berikutnya pastikan setiap variabel memiliki koefisien. Dalam persamaan terakhir, tidak ada variabel y yang muncul, maka kita munculkan sebagai 0y.

Sekarang kita siap mengekstrak SPL di atas dan membentuk matriks koefisien dan konstanta.

Tujuan kita adalah membuat matriks 3x3 di sebelah kiri menjadi identitas.

Strategi kasar

Kita akan mengubah setiap kolom secara bergiliran, dari kiri ke kanan. Untuk masing-masing kolom, buat semua selnya 0 kecuali pada sel yang sesuai kolomnya.

Setiap kali kita mengerjakan sebuah kolom, kita berusaha membuat semua sel pada kolom tersebut menjadi 0 kecuali satu sel. Sel yang bukan nol ini disebut sebagai pivot.

Sel pivot selalu merupakan sel dengan urutan sesuai nomor kolom. Jadi untuk kolom 1 pivotnya adalah sel pertama, untuk kolom 2 pivotnya sel baris kedua, kolom 3 pivotnya adalah sel baris ketiga. Kalau kamu perhatikan, posisi pivot ini tidak lain adalah diagonal utama matriks.

Setelah selesai, kita mungkin tidak mendapati matriks identitas, karena diagonalnya bukan 1.

Namun langkah terakhir sangat mudah, karena kita tinggal mengalikan baris pertama dengan \frac{1}{a}, baris kedua dengan \frac{1}{b}, dan baris ketiga dengan \frac{1}{c}, alias membagi dengan a, b, dan c.

Eksekusi

Mari kita eksekusi rencana kita mulai dari kolom pertama.

Kita harus menjadikan kolom pertama menjadi ?, 0, 0. Pivotnya adalah baris pertama, dan baris pertama sudah 1 sehingga tidak perlu dimanipulasi. Baris kedua dan ketiga perlu kita kerjai untuk menjadi 0.

Untuk mengubah baris kedua menjadi 0, kita tinggal menjumlahnya dengan baris pertama.

Baris kedua beres. Sekarang baris ketiga. Karena baris ketiga harus jadi 0, kita perlu mengurangkan dengan baris pertama. Kita tidak bisa mengurangkan dengan baris kedua karena baris kedua sudah 0.

Jadi kita bisa mengurangkan baris ketiga dengan baris pertama sebanyak dua kali.

Atau alternatifnya, kita bisa mengalikan baris pertama dengan 2, kemudian mengurangkan baris ketiga dengan baris pertama.

Baru kemudian kita sederhanakan kembali baris pertama.

Sederhanakan selalu

Adalah bijak untuk selalu menyederhanakan hasil yang diperoleh, berapapun hasilnya. Kadang-kadang ini menjadi langkah tambahan yang tidak perlu, tetapi lebih sering berguna.

Kita telah selesai dengan kolom pertama. Mari kita menuju ke kolom berikutnya.

Kolom 2

Kita sekarang fokus ke kolom 2. Kita akan berusaha membuat kolom 2 menjadi 0, ?, 0. Pivotnya adalah sel kedua.

Kalau pada kolom 1 kita mengerjakan baris 2 dan baris 3 secara terpisah, sekarang kita akan coba mengerjakan ketiga barisnya bersama-sama. Jadi kita akan membuat kolom 2 ini bilangannya menjadi sama semua, misalnya 12. 12 dipilih karena KPK dari 2, 3, dan 4. Negatif bisa kita abaikan karena kita bisa menggunakan penjumlahan maupun pengurangan antar baris.

Karena targetnya adalah 12, maka baris pertama harus dikali 6, baris kedua 4, dan baris ketiga 3.

Karena sudah sama, maka kita tinggal mengurangkan baris pertama dengan baris kedua, dan menjumlahkan baris ketiga dengan baris kedua juga.

Jadi deh! Sekarang kolom kedua sudah berbentuk 0, ?, 0.

Ingat: Sederhanakan

Jangan lupa menyederhanakan kembali sebelum menuju proses berikutnya.

Kolom 3

Berikutnya kita mengerjakan kolom 3. Kolom 3 berisi bilangan 5, 2, 1, sementara kita ingin membuatnya menjadi 0, 0, ?. Jadi pivotnya sekarang ada di baris ketiga.

Karena bilangannya cukup sederhana, kita samakan saja semuanya menjadi 10. Jadi baris pertama dikali 2, baris kedua dikali 5, dan baris ketiga dikali 10.

Kemudian kita kurangkan semua baris lain dengan pivotnya agar kolom 3 menjadi 0 kecuali pivot.

Jadi lagi! Kolom 3 sudah berbentuk 0, 0, ?.

Sederhanakan lagi

Ingat selalu untuk menyederhanakan. Karena kita ingin matriks 3×3 di sebelah kiri menjadi identitas, maka kita perlu membagi dengan 6, 15, dan 10.

Sukses! Sekarang submatriks 3×3 di sebelah kiri sudah menjadi identitas, dan kolom kanan menunjukkan penyelesaian SPL.

Mengapa ini penyelesaiannya? Karena jika matriks ini dikembalikan ke dalam bentuk SPL akan menjadi:

Atau jika disederhanakan:

Generalisasi

Yang kita kerjakan di atas adalah SPL dengan 3 variabel. Untuk 4 variabel, 5 variabel, dan yang lebih tinggi, strateginya masih sama.

Tujuannya adalah untuk membuat submatriks n×n di sebelah kiri menjadi identitas.

Strateginya dengan mengerjakan per kolom, dengan setiap baris lain dikurangkan atau dijumlah dengan pivotnya.

Latihan

Tuliskan koefisien-koefisien dan konstanta sistem-sistem persamaan berikut menjadi dalam bentuk matriks, lalu tentukan penyelesaiannya dengan OBE.

1. \left\{ \begin{matrix} x - 2y + 3z = 8 \\ 4x + y + 2z = 21 \\ - x + 2y + z = 0 \\ \end{matrix} \right.\
2. \left\{ \begin{matrix} 3x + y = - 3 \\ 2x + y = 4z = 6 \\ x + z = 1 \\ \end{matrix} \right.\

Berikutnya: Matriks persamaan umum