Sistem persamaan linear dan persamaan matriks

Dalam bagian sebelumnya sudah dibahas bahwa SPL memiliki padanan dalam bentuk matriks.

Jadi misalnya ada sebuah sistem persamaan linear 2 variabel seperti di bawah ini, kita dapat menuliskannya dalam matriks 3×2.

\left\{ \begin{matrix} 3x + 2y = 10 \\ x + 4y = 30 \\ \end{matrix} \right.\

→

3	2	10
1	4	30

Dalam matriks tersebut, kita menuliskan koefisien-koefisien SPL maupun konstanta dalam satu matriks besar. Namun variabelnya tidak lagi terlihat.

Ada alternatif cara penyajian yang lain. Kita dapat menggunakan bentuk persamaan matriks seperti ini.

\left\{ \begin{matrix} 3x + 2y = 10 \\ x + 4y = 30 \\ \end{matrix} \right.\

→

\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 30 \\ \end{bmatrix}

Mengapa demikian? Untuk melihat alasannya, kita dapat mengalikan persamaan matriksnya.

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 10 \\ 30 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 3x+2y \\ x+4y \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 10 \\ 30 \\ \end{bmatrix} \\ \end{aligned}

Jadi matriks hasil perkaliannya menyatakan hal yang persis sama dengan bentuk SPL-nya. Ya tentu saja karena memang persamaan matriks ini sendiri adalah SPL. Keduanya ekivalen.

\begin{bmatrix} 3x+2y \\ x+4y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 30 \\ \end{bmatrix}

⇔

\left\{ \begin{matrix} 3x + 2y = 10 \\ x + 4y = 30 \\ \end{matrix} \right.\

Dengan demikian kita dapat mencoba menyelesaikan SPL tersebut dengan persamaan matriks. Artinya kita akan memakai invers matriks.

Menyelesaikan SPL menggunakan persamaan matriks

Jadi persamaan awalnya adalah seperti ini:

\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 30 \\ \end{bmatrix}

Demi penjelasan, kita dapat simbolkan persamaan ini sebagai:

AX = B

Dengan:

\begin{aligned} A &= \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \\ X &= \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ B &= \begin{bmatrix} 10 \\ 30 \\ \end{bmatrix} \end{aligned}

Karena persamaan ini adalah berbentuk AX=B, maka kita perlu menentukan A^{-1} terlebih dahulu. Kalau kamu belum mahir menentukan invers, kamu dapat mempelajarinya kembali dalam bagian invers matriks.

\begin{aligned} A &= \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \\ A^{-1} &= \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix} \end{aligned}

Dengan demikian, kita dapat menggunakan aturan sebelumnya untuk menentukan nilai X.

\begin{aligned} AX &= B \\ A^{-1} AX &= A^{-1}B \\ IX &= A^{-1}B \\ X &= A^{-1}B \end{aligned}

Jadi dengan mengganti X, A^{-1}, dan B dengan matriks yang sesuai:

\begin{aligned} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} &= \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 10 \\ 30 \\ \end{bmatrix}\\ &= \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4\cdot 10 -2\cdot 30 \\ -1\cdot 10 + 3\cdot 30 \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 40 -60 \\ -10 + 90 \\ \end{bmatrix}\\ &= \frac{1}{10} \begin{bmatrix} -20 \\ 80 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} -2 \\ 8 \\ \end{bmatrix} \end{aligned}

Jadi didapat persamaan hasil:

\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 8 \end{bmatrix}

Yang berarti nilai x = -2, dan y = 8.

Mari kita uji

Sebaiknya jangan mudah percaya pada hasilnya. Kita dapat mengujinya kembali pada SPL sumbernya, dengan mengganti x dengan -2 dan y dengan 8.

Persamaan 1:

\begin{aligned} 3x + 2y &= 10 \\ 3(-2) + 2(8) &= 10 \\ -6 + 16 &= 10 \\ 10 &= 10 \end{aligned}

Persamaan 1 terpenuhi.

Persamaan 2:

\begin{aligned} x + 4y &= 30 \\ -2 + 4(8) &= 30 \\ -2 + 32 &= 30 \\ 30 &= 30 \end{aligned}

Persamaan 2 juga terpenuhi.

Jadi sistem persamaan tersebut benar-benar dipenuhi oleh nilai x dan y hasil persamaan matriks.

Latihan

Ubahlah sistem-sistem persamaan berikut menjadi persamaan matriks, kemudian tentukan penyelesaiannya.

\left\{ \begin{matrix} x + 4y = 9 \\ 2x + y = - 3 \\ \end{matrix} \right.\
\left\{ \begin{matrix} 2y - 2x = - 4 \\ 3x + y = 18 \\ \end{matrix} \right.\
\left\{ \begin{matrix} x + 5y = - 2 \\ 2x + y = 5 \\ \end{matrix} \right.\
\left\{ \begin{matrix} 2x + 3y = - 2 \\ x + 4y + 5z = 4 \\ x - z = - 2 \\ \end{matrix} \right.\

Berikutnya: Referensi