Seperti halnya dalam aljabar bilangan, dalam matriks juga ada persamaan linear 1 variabel. Hanya kali ini koefisien, variabel, dan konstantanya adalah matriks.
Bentuk AX = B
AX = B
Bagaimanakah kita akan menemukan nilai X, sementara tidak ada pembagian dalam matriks?
Jika kita kalikan kedua ruas dengan A^{- 1} di sebelah kirinya:
\begin{aligned}
A X &= B \\
A^{- 1}A X &= A^{- 1}B \\
I X &= A^{- 1}B \\
X &= A^{- 1}B
\end{aligned}
Bentuk A = XB
Demikian juga dengan persamaan berikut ini:
A = XB
Dengan mengalikan kedua ruas dengan B^{- 1} di sebelah kanannya, kita akan menyisakan X saja di sisi tersebut.
\begin{aligned}
A &= X B \\
A B^{- 1} &= X B B^{- 1} \\
A B^{- 1} &= X I \\
A B^{- 1} &= X \\
\end{aligned}
Diberikan MA=U
Tentukan matriks A jika:
\begin{aligned}
M &=
\begin{pmatrix}
5 & 2 \\
1 & -6 \\
\end{pmatrix} \\
U &=
\begin{pmatrix}
-11 \\ -15
\end{pmatrix}
\end{aligned}
Karena yang ingin dicari adalah A, maka kita perlu mengucilkan A sendirian di ruas kiri. Kita bisa mengucilkannya dengan mengalikan kedua ruas dengan invers M.
\begin{aligned}
MA &= U \\
M^{-1} MA &= M^{-1} U \\
IA &= M^{-1} U \\
A &= M^{-1} U
\end{aligned}
Sekarang A sudah sendirian (hiks...) di sebelah kiri, dan kita perlu menghitung invers dari M terlebih dahulu. Karena M adalah matriks 2×2, inversnya cukup sederhana. Silakan tinjau kembali bagian sebelumnya jika lupa.
\begin{aligned}
M &=
\begin{pmatrix}
5 & 2 \\
1 & -6 \\
\end{pmatrix} \\
M^{-1} &=
\frac{1}{-32}
\begin{pmatrix}
-6 & -2 \\
-1 & 5 \\
\end{pmatrix} \\
\end{aligned}
Dengan mengganti nilai M^{-1} dan matriks U, kita mendapatkan persamaan:
\begin{aligned}
A &= M^{-1} U \\
A &=
-\frac{1}{32}
\begin{pmatrix}
-6 & -2 \\
-1 & 5 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-11 \\ -15
\end{pmatrix}\\
&=
-\frac{1}{32}
\begin{pmatrix}
-6\cdot -11 -2\cdot -15 \\
-1\cdot -11 +5\cdot -15
\end{pmatrix}\\
&=
-\frac{1}{32}
\begin{pmatrix}
66 + 30 \\
11 -75
\end{pmatrix}\\
&=
-\frac{1}{32}
\begin{pmatrix}
96 \\
-64 \\
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
-3 \\
2 \\
\end{pmatrix}\\
\end{aligned}
Jadi didapat bahwa penyelesaiannya adalah:
A =
\begin{pmatrix}
-3 \\
2 \\
\end{pmatrix}
Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan berikut:
\begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 4 \\
1 & 0 & -2 \\
3 & -2 & 0 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 & 3 & 8
\end{pmatrix}
Matriks yang hendak dicari adalah sebelah kiri perkalian. Jadi ini adalah bentuk XA=B. Untuk menentukan penyelesaiannya, kita perlu mengucilkan X sendirian di sebelah kiri. Karena itu kita mengalikan kedua ruas dengan A^{-1} untuk menghilangkan A.
\begin{aligned}
XA &= B \\
XA A^{-1} &= B A^{-1} \\
X I &= B A^{-1} \\
X &= B A^{-1}
\end{aligned}
Dalam bentuk persamaan aslinya:
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 4 \\
1 & 0 & -2 \\
3 & -2 & 0 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 & 3 & 8
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 & 3 & 8
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 4 \\
1 & 0 & -2 \\
3 & -2 & 0 \\
\end{pmatrix}^{-1}
\end{aligned}
Sekarang kita perlu menentukan terlebih dahulu invers matriks di sebelah kanan.
Dengan menggunakan kofaktor, kita dapat membuat matriks tersebut menjadi:
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 4 \\
1 & 0 & -2 \\
3 & -2 & 0 \\
\end{pmatrix}^{-1}
&=
\frac{1}{
\begin{vmatrix}
3 & 1 & 4 \\
1 & 0 & -2 \\
3 & -2 & 0 \\
\end{vmatrix}
}
\text{adj}
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 4 \\
1 & 0 & -2 \\
3 & -2 & 0 \\
\end{pmatrix}
\\
&=
\frac{1}{
3(0-4)-1(0+6)+4(-2-0)
}
\begin{pmatrix}
-4 & -8 & -2 \\
-6 & -12 & 10 \\
-2 & 9 & -1 \\
\end{pmatrix}
\\
&=
\frac{1}{
-26
}
\begin{pmatrix}
-4 & -8 & -2 \\
-6 & -12 & 10 \\
-2 & 9 & -1 \\
\end{pmatrix}
\\
\end{aligned}
Kita kembalikan ke persamaannya:
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
-2 & 3 & 8
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & 1 & 4 \\
1 & 0 & -2 \\
3 & -2 & 0 \\
\end{pmatrix}^{-1}
\\
&=
\begin{pmatrix}
-2 & 3 & 8
\end{pmatrix}
\left(
\frac{1}{
-26
}
\begin{pmatrix}
-4 & -8 & -2 \\
-6 & -12 & 10 \\
-2 & 9 & -1 \\
\end{pmatrix}
\right)\\
&=
\frac{1}{
-26
}
\begin{pmatrix}
-2 & 3 & 8
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-4 & -8 & -2 \\
-6 & -12 & 10 \\
-2 & 9 & -1 \\
\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{
-26
}
\begin{pmatrix}
-2\cdot -4 +3 \cdot -6 + 8 \cdot -2
& -2\cdot -8 +3 \cdot -12 + 8 \cdot 9
& -2\cdot -2 +3 \cdot 10 + 8 \cdot -1
\end{pmatrix} \\
&=
\frac{1}{
-26
}
\begin{pmatrix}
8 -18 -16
& 16 -36 + 72
& 4 +30 -8
\end{pmatrix} \\
&=
\frac{1}{
-26
}
\begin{pmatrix}
-26 & 52 & 26
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1
\end{pmatrix} \\
\end{aligned}
Jadi:
\begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1
\end{pmatrix} \\
Yang berarti:
\begin{aligned}
a &= 1 \\
b &= -2 \\
c &= 1 \\
\end{aligned}
Latihan
\begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 1 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
- 4 \\
7 \\
\end{bmatrix}
Tentukan x dan y menggunakan invers matriks.
Diketahui matriks A = \begin{bmatrix}
3 & - 2 \\
7 & 4 \\
\end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix}
17 \\
31 \\
\end{bmatrix}.
Jika AX = B tentukan matriks X.
Diketahui matriks R = \begin{bmatrix}
23 & 23 \\
\end{bmatrix} dan S = \begin{bmatrix}
11 & 1 \\
2 & - 4 \\
\end{bmatrix}.
Jika TS = R tentukan matriks T.
Matriks X yang memenuhi persamaan \begin{bmatrix}
8 & 5 \\
- 7 & 5 \\
\end{bmatrix}X = \begin{bmatrix}
- 16 \\
14 \\
\end{bmatrix} adalah …
Matriks X yang memenuhi persamaan \begin{bmatrix}
3 & 2 & 1 \\
5 & 4 & 6 \\
- 2 & 4 & 1 \\
\end{bmatrix}X = \begin{bmatrix}
5 \\
4 \\
- 5 \\
\end{bmatrix} adalah …
Berikutnya: Sistem persamaan linear dan persamaan matriks