Matriks persamaan umum

Sekarang kita akan menentukan penyelesaian bagi sistem persamaan linear 2 variabel yang lebih umum.

\left\{ \begin{matrix} ax + by = m \\ cx + dy = n \\ \end{matrix} \right.\

Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita bisa mencari penyelesaian sistem persamaan tersebut.

Pertama-tama kita tuliskan matriks dari SPL tersebut. Koefisien-koefisiennya adalah a, b, c, dan d, sementara konstanta di ruas kanan adalah m dan n.

abm
cdn

Kita akan mengerjakan kolom 1 terlebih dahulu. Untuk menyamakan kedua selnya, kita kalikan baris pertama dengan c, dan baris kedua dengan a.

abm\times c
cdn\times a

Setelah sama, kita dapat mengurangkan baris kedua dengan baris pertama agar elemen (2,1) bernilai nol.

acbcmc
acadan-b1

Hasilnya adalah seperti di bawah ini. Sederhanakan kembali hasilnya.

acbcmc\times\frac{1}{c}
0ad-bcan-mc

Nah, sampai di sini kita sebenarnya sudah melakukan eliminasi Gauss. Tinggal satu langkah terakhir yaitu membuat diagonal utamanya menjadi 1. Namun mari kita teruskan lengkap dengan eliminasi Gauss-Jordan, dengan membuat kolom kedua menjadi sama.

abm\times{(ad-bc)}
0ad-bcan-mc\times{b}
a(ad-bc)b(ad-bc)m(ad-bc)-b2
0b(ad-bc)b(an-mc)

Dengan mengurangkan baris pertama dengan kedua, yang terjadi adalah:

a(ad-bc)0m(ad-bc)-b(an-mc)
0b(ad-bc)b(an-mc):b

Sederhanakan kembali baris kedua, dan bongkar kolom 3 baris pertama:

a(ad-bc)0mad-mbc-ban+bmc
0ad-bcan-mc

Terlihat bahwa ada suku yang bisa dihilangkan.

a(ad-bc)0mad\hilitec{-mbc}-ban\hilitec{+bmc}
0ad-bcan-mc
a(ad-bc)0mad-ban
0ad-bcan-mc

Sampai di sini, kita bisa menyederhanakan baris pertama dengan membaginya dengan a.

a(ad-bc)0mad-ban:a
0ad-bcan-mc
ad-bc0md-bn
0ad-bcan-mc

Sekarang kita akan membuat diagonal utamanya menjadi 1 semua, dengan cara membagi kedua baris dengan ad-bc.

ad-bc0md-bn:(ad-bc)
0ad-bcan-mc:(ad-bc)

Hasilnya:

10\frac{md - bn}{ad - bc}
01\frac{an - mc}{ad - bc}

Ternyata, muncul faktor pembagi ad - bc. Faktor pembagi ini dapat digunakan untuk menentukan jumlah penyelesaian bagi sistem persamaan tersebut. Jika nilai ad-bc = 0, hasil untuk x maupun y tidak dapat dibagi, sehingga sistem persamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian yang bermakna, entah karena ada tak berhingga penyelesaian, atau karena tak ada penyelesaian sama sekali.

Jika ad-bc = 0, maka \frac{an-mc}{ad-bc} tidak didefinisikan. Kondisi ini menunjukkan bahwa sistem persamaan bisa jadi memiliki tak berhingga penyelesaian (independen), atau bisa jadi tidak memiliki penyelesaian sama sekali (inkonsisten). Jadi nilai ad-bc tidak boleh sama dengan nol agar sistem persamaan memiliki tepat satu penyelesaian (dependen).

Karena faktor ad-bc ini menentukan (mendeterminasi) jenis penyelesaian dari sistem persamaan, maka faktor ini disebut sebagai determinan.

SPL dengan 3 Variabel

Penyelesaian SPL 3 variabel juga dapat ditentukan dengan algoritma yang sama.

Kita akan mulai dari matriks koefisien awal.

a_{11}a_{12}a_{13}c_1\times a_{21} a_{31}
a_{21}a_{22}a_{23}c_2\times a_{11} a_{31}
a_{31}a_{32}a_{33}c_3\times a_{11} a_{21}

Kolom 1

Berikutnya, karena kita akan mengerjakan kolom 1, maka kita jadikan semuanya berniai sama. Untuk itu kita akan mengalikan baris pertama dengan a_{21}a_{31}, baris kedua dengan a_{11}a_{31}, dan baris ketiga dengan a_{11}a_{21}.

Karena sama, maka baris 2 dan baris 3 dapat dikurangkan langsung dengan baris 1.

a_{11} a_{21} a_{31}a_{12} a_{21} a_{31}a_{13} a_{21} a_{31}a_{21} a_{31} c_1
a_{11} a_{21} a_{31}a_{11} a_{22} a_{31}a_{11} a_{23} a_{31}a_{11} a_{31} c_2-b1
a_{11} a_{21} a_{31}a_{11} a_{21} a_{32}a_{11} a_{21} a_{33}a_{11} a_{21} c_3-b1

Hasilnya:

a_{11} a_{21} a_{31}a_{12} a_{21} a_{31}a_{13} a_{21} a_{31}a_{21} a_{31} c_1:a_{21} a_{31}
0a_{11} a_{22} a_{31}-a_{12} a_{21} a_{31} a_{11} a_{23} a_{31}-a_{13} a_{21} a_{31} a_{11} a_{31} c_2- a_{21} a_{31} c_1:a_{31}
0a_{11} a_{21} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{31} a_{11} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{21} a_{31} a_{11} a_{21} c_3- a_{21} a_{31} c_1:a_{21}

Hasilnya kita sederhanakan lagi dengan membagi suku yang tersebar dalam masing-masing baris. Dengan demikian bentuknya menjadi lebih sederhana kembali.

a_{11} a_{12} a_{13} c_1
0a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} a_{11} a_{23}-a_{13} a_{21} a_{11} c_2- a_{21} c_1
0a_{11} a_{32} - a_{12} a_{31} a_{11} a_{33} - a_{13} a_{31} a_{11} c_3- a_{31} c_1

Kolom 2

Sekarang kita beralih ke kolom 2.

a_{11} a_{12} a_{13} c_1
0a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} a_{11} a_{23}-a_{13} a_{21} a_{11} c_2- a_{21} c_1
0a_{11} a_{32} - a_{12} a_{31} a_{11} a_{33} - a_{13} a_{31} a_{11} c_3- a_{31} c_1

Agak menakutkan untuk langsung mengerjakan ketiga baris pada kolom 2, karena itu kita akan mengerjakan baris pertama dulu, yang sekilas kelihatan lebih jinak. Jadi kita kalikan baris pertama dengan a_{12}

a_{11} (a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}) a_{12} (a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}) a_{13} (a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}) c_1(a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}) -b2
0a_{12} (a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}) a_{12} (a_{11} a_{23}-a_{13} a_{21}) a_{12} (a_{11} c_2-a_{21} c_1)
0a_{11} a_{32}-a_{12} a_{31} a_{11} a_{33}-a_{13} a_{31} a_{11} c_3- a_{31} c_1

Kita jabarkan isinya, kemudian kita kurangkan baris pertama dengan baris kedua.

a_{11} a_{11} a_{22}-a_{11} a_{12} a_{21}a_{12} a_{11} a_{22}-a_{12} a_{12} a_{21}a_{13} a_{11} a_{22}-a_{13} a_{12} a_{21}a_{11} a_{22} c_1- a_{12} a_{21} c_1-b2
0a_{12} a_{11} a_{22}-a_{12} a_{12} a_{21}a_{12} a_{11} a_{23}- a_{12} a_{13} a_{21}a_{12} a_{11} c_2-a_{12} a_{21} c_1
0a_{11} a_{32}-a_{12} a_{31} a_{11} a_{33}-a_{13} a_{31} a_{11} c_3- a_{31} c_1
a_{11} a_{11} a_{22}-a_{11} a_{12} a_{21}0a_{13} a_{11} a_{22}-a_{13} a_{12} a_{21} - a_{12} a_{11} a_{23} + a_{12} a_{13} a_{21}a_{11} a_{22} c_1- a_{12} a_{21} c_1 - a_{12} a_{11} c_2 + a_{12} a_{21} c_1-b2
0a_{12} a_{11} a_{22}-a_{12} a_{12} a_{21}a_{12} a_{11} a_{23}- a_{12} a_{13} a_{21}a_{12} a_{11} c_2-a_{12} a_{21} c_1 :a_{12}
0a_{11} a_{32}-a_{12} a_{31} a_{11} a_{33}-a_{13} a_{31} a_{11} c_3- a_{31} c_1

Smpai di sini kita sederhanakan dulu baris kedua, sambil memperhatikan juga bahwa ada suku yang sama pada baris pertama.

a_{11} a_{11} a_{22}-a_{11} a_{12} a_{21}0a_{13} a_{11} a_{22}\hilitec{-a_{13} a_{12} a_{21}} - a_{12} a_{11} a_{23} \hilitec{+ a_{12} a_{13} a_{21}}a_{11} a_{22} c_1\hilitec{- a_{12} a_{21} c_1} - a_{12} a_{11} c_2 \hilitec{+a_{12} a_{21} c_1}
0a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}a_{11} a_{23} - a_{13} a_{21}a_{11} c_2 - a_{21} c_1
0a_{11} a_{32}-a_{12} a_{31} a_{11} a_{33}-a_{13} a_{31} a_{11} c_3- a_{31} c_1

Karena mengandung suku yang sama, sekaligus tandanya berlawanan (satu plus satu minus), maka dua suku itu akan saling meniadakan.

a_{11} a_{11} a_{22} - a_{11} a_{12} a_{21}0a_{13} a_{11} a_{22} - a_{12} a_{11} a_{23}a_{11} a_{22} c_1 - a_{12} a_{11} c_2
0a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}a_{11} a_{23} - a_{13} a_{21}a_{11} c_2 - a_{21} c_1
0a_{11} a_{32}-a_{12} a_{31} a_{11} a_{33}-a_{13} a_{31} a_{11} c_3- a_{31} c_1

Kemudian semua elemen dalam baris pertama mengandung faktor a_{11}, jadi kita bisa bagi dengan a_{11}.

a_{11} a_{11} a_{22} - a_{11} a_{12} a_{21}0a_{13} a_{11} a_{22} - a_{12} a_{11} a_{23}a_{11} a_{22} c_1 - a_{12} a_{11} c_2:a_{11}
0a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}a_{11} a_{23} - a_{13} a_{21}a_{11} c_2 - a_{21} c_1
0a_{11} a_{32}-a_{12} a_{31} a_{11} a_{33}-a_{13} a_{31} a_{11} c_3- a_{31} c_1
a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}0a_{13} a_{22} - a_{12} a_{23}a_{22} c_1 - a_{12} c_2
0a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}a_{11} a_{23} - a_{13} a_{21}a_{11} c_2 - a_{21} c_1
0a_{11} a_{32}-a_{12} a_{31} a_{11} a_{33}-a_{13} a_{31} a_{11} c_3- a_{31} c_1

Baris 3 pada kolom 2 sedikit lebih rumit. Kalau kita kalikan keduanya, kita akan mendapatkan sangat banyak suku perkalian.

a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}0a_{13} a_{22} - a_{12} a_{23}a_{22} c_1 - a_{12} c_2
0a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}a_{11} a_{23} - a_{13} a_{21}a_{11} c_2 - a_{21} c_1 \times (a_{11} a_{32} - a_{12} a_{31})
0a_{11} a_{32} - a_{12} a_{31} a_{11} a_{33} - a_{13} a_{31} a_{11} c_3- a_{31} c_1\times (a_{11} a_{22} a_{12} a_{21})

Setelah dikalikan, bentuknya akan jadi super panjang dan rumit seperti ini.

a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}0a_{13} a_{22} - a_{12} a_{23}a_{22} c_1 - a_{12} c_2
0a_{11} a_{22} a_{11} a_{32} - a_{11} a_{22} a_{12} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{11} a_{32} + a_{12} a_{21} a_{12} a_{31}a_{11} a_{23} a_{11} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{12} a_{31} - a_{13} a_{21} a_{11} a_{32} + a_{13} a_{21} a_{12} a_{31}a_{11} c_2 a_{11} a_{32} - a_{11} c_2 a_{12} a_{31} - a_{21} c_1 a_{11} a_{32} + a_{21} c_1 a_{12} a_{31}/td>
0a_{11} a_{32} a_{11} a_{22} - a_{11} a_{32} a_{12} a_{21} - a_{12} a_{31} a_{11} a_{22} + a_{12} a_{31} a_{12} a_{21}a_{11} a_{33} a_{11} a_{22} - a_{11} a_{33} a_{12} a_{21} - a_{13} a_{31} a_{11} a_{22} + a_{13} a_{31} a_{12} a_{21}a_{11} c_3 a_{11} a_{22} - a_{11} c_3 a_{12} a_{21} - a_{31} c_1 a_{11} a_{22} + a_{31} c_1 a_{12} a_{21}

Kurangkan

a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}0a_{13} a_{22} - a_{12} a_{23}a_{22} c_1 - a_{12} c_2
0a_{11} a_{22} a_{11} a_{32} - a_{11} a_{22} a_{12} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{11} a_{32} + a_{12} a_{21} a_{12} a_{31}a_{11} a_{23} a_{11} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{12} a_{31} - a_{13} a_{21} a_{11} a_{32} + \hilitec{a_{13} a_{21} a_{12} a_{31}}a_{11} c_2 a_{11} a_{32} - a_{11} c_2 a_{12} a_{31} - a_{21} c_1 a_{11} a_{32} + \hilitec{a_{21} c_1 a_{12} a_{31}}:(a_{11} a_{32} - a_{12} a_{31})
0a_{11} a_{32} a_{11} a_{22} - a_{11} a_{32} a_{12} a_{21} - a_{12} a_{31} a_{11} a_{22} + a_{12} a_{31} a_{12} a_{21}a_{11} a_{33} a_{11} a_{22} - a_{11} a_{33} a_{12} a_{21} - a_{13} a_{31} a_{11} a_{22} + \hilitec{a_{13} a_{31} a_{12} a_{21}}a_{11} c_3 a_{11} a_{22} - a_{11} c_3 a_{12} a_{21} - a_{31} c_1 a_{11} a_{22} + \hilitec{a_{31} c_1 a_{12} a_{21}}-b2
a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}0a_{13} a_{22} - a_{12} a_{23}a_{22} c_1 - a_{12} c_2
0a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}a_{11} a_{23} - a_{13} a_{21}a_{11} c_2 - a_{21} c_1
00a_{11} a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{11} a_{23} a_{32} + a_{11} a_{12} a_{23} a_{31} + a_{11} a_{13} a_{21} a_{32}a_{11} c_3 a_{11} a_{22} - a_{11} c_3 a_{12} a_{21} - a_{31} c_1 a_{11} a_{22} - a_{11} c_2 a_{11} a_{32} + a_{11} c_2 a_{12} a_{31} + a_{21} c_1 a_{11} a_{32}:a_{11}
a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}0a_{13} a_{22} - a_{12} a_{23}a_{22} c_1 - a_{12} c_2
0a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}a_{11} a_{23} - a_{13} a_{21}a_{11} c_2 - a_{21} c_1
00a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} + a_{12} a_{23} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31}a_{11} a_{22} c_3 - a_{11} a_{32} c_2 + a_{12} a_{31} c_2 - a_{12} a_{21} c_3 + a_{21} a_{32} c_1 - a_{22} a_{31} c_1

Perhatikan baris ketiga dapat dituliskan dalam persamaan sebagai:

(a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{23}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31})z = a_{11}a_{22}c_3 - a_{11}a_{32}c_2 + a_{12}a_{31}c_2 - a_{12}a_{21}c_3 + a_{21}a_{32}c_1 - a_{22}a_{31}c_1

Sehingga:

z = \frac {a_{11}a_{22}c_3 - a_{11}a_{32}c_2 + a_{12}a_{31}c_2 - a_{12}a_{21}c_3 + a_{21}a_{32}c_1 - a_{22}a_{31}c_1} {a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{23}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}}

Yang berarti persamaan ini baru akan memiliki solusi jika:

a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{23}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} \ne 0

Berikutnya: Determinan

Ditulis oleh
Ari Prasetyo
Ditulis pada
Terakhir diupdate
Dipublikasikan
Frase kunci
matriks sistem persamaan linear